Manyetometre kalibrasyonu: hard-iron / soft-iron düzeltmesi ve elipsoid uydurma

Üç eksenli bir manyetometrenin ham çıktısı, sensörün kendi kusurları ile taşıyıcı yapının kalıcı ve indüklenen alanlarının doğrusal bir karışımıdır; cihaz döndürüldüğünde ölçümler küre yerine kaydırılmış ve eğilmiş bir elipsoid üzerinde toplanır. Bu not; hard-iron ofseti ve soft-iron matrisinin elipsoid uydurmayla kestirimini, yalnızca manyetometre verisiyle kestirilemeyen ortogonal belirsizliği, veri kapsamının etkisini ve kalan hataların pusula açısına yansımasını türetmeleriyle verir; ardından sıcaklık, kart üzeri akımlar ve doğrulama altyapısını ele alır.

Ölçüm modeli ve terimlerin fiziksel kökeni

Sabit bir yerel alan vektörü m (seyir çerçevesinde) içinde döndürülen bir sensörün t anındaki okuması, literatürde ortak kabul gören doğrusal modelle yazılır [1], [7], [9]:

R_t seyir çerçevesinden gövdeye dönüşüm, ε_t geniş bantlı gürültüdür.

• Hard-iron ofseti (b_hi): kalıcı mıknatıslanmış bileşenlerin (hoparlör, titreşim motoru) alanıdır; sensörle birlikte döndüğü için gövde çerçevesinde sabit bir toplamsal vektördür. Kart izlerindeki doğru akımların alanı da bu terime eklenir [2].
• Sensör sıfır-alan ofseti (zero-field offset, b_zb): hard-iron ofsetinden ayırt edilemez ve onunla birlikte kestirilir; bu yüzden üreticiler çoğu zaman bunu fabrikada kalibre etmez [1], [3]. Bir ticari MEMS manyetometrenin veri sayfası 25 °C'de tipik ±40 μT sıfır-alan ofseti belirtir [15]; yer alanıyla aynı mertebe.
• Soft-iron matrisi (C_si): mıknatıslanmamış ferromanyetik parçalarda (çelik ekran, pil) dış alanın indüklediği alandır; doğrusal kabul edildiğinde 3×3 matristir. Histerezis varsa doğrusallık kesin değildir [1], [10].
• Ölçek, diklik ve hizasızlık (C_sc, C_no, R_mb): eksen kazanç farkları, eksenlerin tam dik olmayışı [7], [8] ve eksenlerin ivmeölçer/jiroskop eksenlerine göre dönüklüğü [9].

Kestirim açısından yalnızca birleşik W ve b önemlidir; tüm doğrusal, zamanla değişmeyen bozulmalar tek bir afin dönüşümde toplanır [8]. Pratikte en sık ihlal edilen iki varsayım şunlardır: W ve b sabittir (bozucular sensöre rijit bağlıdır) ve m kalibrasyon boyunca sabittir [9].

Elipsoid kısıtı ve ikinci dereceden yüzey

Denklem (1)'de gürültü ihmal edilip h − b ters dönüştürülürse W⁻¹(h − b) = R_tm elde edilir. Dönme normu korur; dolayısıyla her yönelimde:

A simetrik ve pozitif tanımlıdır; (2) merkezi b, asal eksenleri A'nın özvektörleri, yarı eksen uzunlukları F/√λ_i olan bir elipsoiddir [1]. Açılım genel ikinci dereceden yüzey (quadric) biçimini verir:

s > 0 keyfi ölçektir; katsayılar bir çarpana kadar belirlidir. Geri dönüş doğrudandır [7], [9]:

İkinci ifade (3)'ten b^TMb − k = F²/s yazılarak bulunur. Parametre sayısı 3 (merkez) + 6 (simetrik A) + 1 (alan şiddeti) = 10'dur [1]. Pusula için F = 1 alınabilir [9]; mutlak ölçüm gerekiyorsa F jeomanyetik modelden alınır [7].

Uydurma yöntemleri

Cebirsel en küçük kareler

Her ölçüm için d_i = [x², y², z², 2yz, 2xz, 2xy, 2x, 2y, 2z, 1] satırı kurulur ve katsayı vektörü p (10 eleman) için cebirsel uzaklık (algebraic distance) karelerinin toplamı en küçüklenir:

Kısıt, önemsiz çözüm p = 0'ı dışlar. C = I (‖p‖ = 1) seçilirse çözüm D'nin en küçük tekil değerine ait sağ tekil vektördür. Ucuzdur ancak M'nin pozitif tanımlı, yani sonucun elipsoid olacağını garanti etmez; çok sınırlı dönüşle toplanan veride elipsoid olmayan çözümler çıkabilir [9]. Ham değerler doğrudan karelendiğinde D kötü koşullanır; veri önce merkezlenip ölçeklenmeli, katsayılar sonra geri dönüştürülmelidir.

Elipsoide özgü kısıt (Li ve Griffiths)

Li ve Griffiths, p = [a, b, c, f, g, h, …] ikinci derece katsayıları (özgün gösterim) için bir yeterli koşul tanımlamıştır [4], [5]:

Ölçek serbest olduğundan eşitsizlik 4J − I² = 1 normalizasyonuna dönüşür; bu, (5)'teki C ile yazılan ikinci dereceden bir kısıttır ve problem genelleştirilmiş özdeğer problemine iner. Sonuç, cebirsel uzaklık anlamında, kısa yarı ekseni uzun yarı ekseninin en az yarısı olan elipsoidler arasındaki en küçük kareler çözümüdür; veri bu sınıfa uymuyorsa ek bir arama adımı önerilir [4]. Eksen oranı 2'yi aşan elipsoidlerde bu sınırlama yanlılık üretir [5]. Manyetometre verisinde oran genellikle 1'e yakındır; güçlü soft-iron bulunan tasarımlarda [2] yine de kontrol edilmelidir.

Cebirsel uydurmanın yanlılığı

Gürültülü ölçüm h̃ = h + ε, ε ~ N(0, σ²I) için (2)'nin sol tarafının beklenen değeri hesaplanırsa [7]:

Çapraz terim sıfır ortalamalı, son terim daima pozitiftir; artıkların ortalaması sıfır değildir ve cebirsel kestirici yanlıdır. Bu yanlılık örnek sayısıyla giderilmez: cebirsel uydurma istatistiksel olarak tutarsızdır (inconsistent); geometrik uydurma da tutarsızdır ama asimptotik yanlılığı daha küçüktür [6]. Gürültü varyansını da kestiren uyarlanmış en küçük kareler (adjusted least squares) tutarlıdır ve manyetometre kalibrasyonuna uygulanmıştır [7]. Mertebe: W ≈ I (A ≈ I) için yarıçap karesindeki göreli sapma 3σ²/F²'dir; σ = 0,4 μT, F = 48,2 μT için 2×10⁻⁴ (türetilmiş). Tam kapsamda yanlılık ikincildir; veri yalnızca bir şeridi kapsadığında merkez kestirimine taşınıp baskınlaşabilir.

Geometrik uydurma ve en büyük olabilirlik

Gürültü sensör çerçevesinde izotropikse en büyük olabilirlik (maximum likelihood, ML) kestiricisi elipsoide dik uzaklıkları en küçükler. Vasconcelos ve arkadaşları, gürültünün küre uzayında tanımlandığı alt-optimal formülasyonun yalnız parametre uzayında aranabildiğini göstermiştir [8]:

T genel bir 3×3 matristir; çözüm iteratiftir (Gauss–Newton, Newton) ve başlangıç için cebirsel ya da iki adımlı kestirici kullanılır [8], [10]. Geometrik uydurma daha pahalı ve başlangıca duyarlıdır, fiziksel yorumu ise daha doğrudandır [5]. Kok ve Schön problemi yönelim kestirimiyle birleşik bir ML problemi olarak kurar: EKF tahmin hatalarının olabilirliği, manyetometre parametreleri, jiroskop sapması ve gürültü kovaryanslarıyla birlikte optimize edilir; başlangıç değeri elipsoid uydurma ve hizalama adımından gelir [9].

Kısıtlı modeller: 4 ve 7 parametre

Soft-iron zayıfsa W = I alınır; (2) açıldığında elde edilen h^Th = 2b^Th + (F² − b^Tb) parametrelerde doğrusaldır [1]:

Burada X'in satırları [h_x, h_y, h_z, 1], Y'nin elemanları ‖h_i‖²'dir. X^TX (4×4) ve X^TY (4×1) ölçümler geldikçe biriktirilebilir; bellek sabittir [1]. Yedi parametreli model köşegen bir ölçek ekler. Model küçüldükçe varyans düşer, modellenmeyen soft-iron sistematik hata olarak kalır: kapsam sınırlıyken bilinçli bir yanlılık–varyans ödünleşimi.

Düzeltme matrisinin elde edilmesi

W^−TW⁻¹ = A'yı sağlayan W⁻¹ için iki yaygın seçim:

Simetrik karekök elipsoidi asal eksenleri boyunca küreye büzer, ek dönme uygulamaz [1], [7]. Kok ve Schön başlangıçta Cholesky kullanır ve kalan dönmeyi ayrı adımda çözer [9]. İki seçim yalnızca bir ortogonal matrisle ayrılır: W⁻¹_ch = QW⁻¹_sim.

Tanımlanabilirlik: ortogonal belirsizlik ve hizalama

Herhangi bir ortogonal U için ‖UW⁻¹(h − b)‖ = ‖W⁻¹(h − b)‖ olduğundan, yalnızca manyetometre verisi kullanan her kestirici W⁻¹'i ancak soldan bir ortogonal çarpana kadar belirleyebilir:

NXP notu 9 elemanlı W'nin elipsoidde yalnızca 6 bağımsız katsayı olarak göründüğünü belirtir [1]; Vasconcelos ve arkadaşları W = R_LS_LV_L ayrışımında hizalama matrisi V_L'nin gözlenemediğini gösterir [8]; Kok ve Schön kürenin dönüklüğünün bilinmediğini vurgular [9].

Simetrik seçim neyi çözer, neyi çözmez

Gerçek düzeltme matrisi kutupsal ayrışımla (polar decomposition) W⁻¹ = QP yazılabilir; P = A^1/2 simetrik pozitif tanımlı, Q ortogonaldir. Simetrik kestirim P'yi verir; dolayısıyla düzeltilmiş vektör

olur: gerçek alan Q^T kadar dönük kalır. Q = I ancak gerçek W⁻¹ simetrik pozitif tanımlıysa mümkündür; hizasızlık ve diklik hataları ise genelde simetrik değildir. NXP notunun “simetri kısıtı sahte dönmeyi önler” ifadesi [1] şu anlamda doğrudur: asal eksenlere göre ek dönme getirmez, fiziksel hizasızlığı da geri kazandırmaz.

Düşey eksen etrafındaki kalan dönme θ_z sabit bir yön kaymasıdır. Yatay eksen etrafındaki θ_h ise düşey bileşen Z = F sin I'nın Zθ_h kadarını yatay düzleme sızdırır; H = F cos I olduğundan yön hatası sinüzoidal olarak en fazla (Z/H)θ_h = tan I · θ_h olur (türetilmiş). Bu, ivmeölçer kaynaklı eğim hatasıyla aynı biçimdedir [3]. I ≈ 58° olan orta enlemlerde tan I ≈ 1,6; yani 1°'lik gözlenemeyen yatay dönme, kusursuz uydurulmuş bir elipsoide rağmen yaklaşık 1,6° yön hatası üretir.

Belirsizliğin giderilmesi

Eksik üç serbestlik ek bilgiyle bulunur. Kok ve Schön, iki vektörün iç çarpımının dönmeden bağımsız olmasını kullanır: ivmeölçer ve jiroskopla kestirilen düşey v_t ile düzeltilmiş manyetik alanın iç çarpımı sabit olmalıdır (değeri alanın düşey bileşeni m_z'dir) [9]:

Çeşitli yönelimlerle bu problem R_D'yi belirler; ardından tüm parametreler ortak ML ile inceltilir. Dik açılı blokla 24 yönelimde yapılan doğrulamada ortalama yön hatası başlangıç kestirimleriyle 1,28°'den ML ile 0,76°'ye, en büyük hata 4,36°'den 2,48°'ye inmiştir [9]. Vasconcelos ve arkadaşları hizalamayı dış referans vektörleriyle ortogonal Procrustes problemi olarak kapalı biçimde çözer; SO(3) için iki, yansımayı da içeren O(3) için en az üç doğrusal bağımsız vektör gerekir [8].

Veri kapsamı, gürültü ve koşullanma

Uydurmanın bilgisi, verinin yüzey üzerinde yaydığı eğrilikten gelir. Aynı yönelimde alınan ölçümler gürültü dışında özdeştir; ölçümler belirgin biçimde farklı yuvarlanma ve yunuslama açılarından seçilmelidir [1]. Gebre-Egziabher ve arkadaşları, akrobatik olmayan bir uçakta yalnızca dar bir elipsoid şeridinin elde edilebildiğini göstermiş; 10°'lik şerit ve yüksek gürültüde iteratif çözümün sık ıraksadığını, iki adımlı başlangıçla ıraksamanın kalktığını, z ofset belirsizliğinin x'inkinin 3–5 katı olduğunu raporlamıştır [10]. Vasconcelos ve arkadaşlarına göre sınırsız sapma ve ±20° yunuslamalı halka verisinde ML kestiricisi iyi doğruluk verir, eğrilik bilgisi azaldıkça hatalar biraz artar [8].

Kapsamın etkisini ayrıştırmak için basit bir Monte Carlo örneği hesaplanmıştır (türetilmiş). Varsayımlar: F = 48,19 μT, I = 58,19° (Ankara, WMM2025 [12]); simetrik soft-iron köşegeni (1,08; 0,95; 1,02), köşegen dışı 0,015–0,035; b = (25; −12; 40) μT; eksen başına beyaz gürültü σ; uydurma başına 300 ölçüm; normalize veriyle 10 parametreli cebirsel uydurma ve simetrik karekök. “±φ” kapsamında sapma serbest, yuvarlanma ve yunuslama ±φ içinde düzgündür. Yön hatası ideal eğim dengelemesiyle 72 yönde, “düz” sütununda yatay konumda, “eğik” sütununda yuvarlanma/yunuslama ∈ {−40°, 0°, +40°} konumlarında ölçülmüştür; değerler 100 denemenin medyanıdır.

Tablo 1. Veri kapsamı ve gürültünün etkisi (örnek simülasyon, 10 parametreli cebirsel uydurma)

±20° kapsamda merkez hatası yaklaşık 15 μT olduğu hâlde yatay konumdaki yön hatası 0,65°'de kalır: uydurma veri bölgesinde tutarlı, dışında yanlıştır; ±40° eğimde hata 20°'yi aşar. Senaryo 3000 ve 10 000 ölçümle tekrarlandığında merkez hatası küçülmemiştir; (7)'deki yanlılık ve dar şeritteki zayıf koşullanma örnek sayısıyla giderilmez. Gürültü ile kapsam da etkileşir: tam kapsamda 2 μT gürültü tolere edilirken ±60° kapsamda merkez hatası 3,6 μT'ye çıkar. Gerçek W'ye 1°'lik dönme eklendiğinde, düz konumda yatay (x) eksen etrafındaki dönme 1,67°, düşey (z) eksen etrafındaki 1,17° en büyük yön hatası vermiştir; tan I ≈ 1,61 ve “sabit kayma” öngörüleriyle uyumludur, uydurma artıkları ise gürültü düzeyindedir.

Pusula hata bütçesi

Eğim dengelemesinden sonra yatay alan h = H[cos ψ, sin ψ] ve küçük bozulma δh için δψ = (h × δh)/H²'dir; genlikler işaret kuralından bağımsızdır.

Kalan hard-iron ofseti. δh = Δb alınırsa:

Bu birinci harmoniktir ve NXP notundaki sonuçla aynıdır [3]. Kaba kural: H = 10 μT'de 3° (0,05 rad) için alan hatası 0,5 μT'yi geçmemelidir [2].

Kalan soft-iron/ölçek hatası. Düzeltme sonrası kalan matris I + E ise δh = Eh yazılıp açılır:

Türetme: h × Eh = H²(E₁₀cos²ψ + (E₁₁ − E₀₀) sin ψ cos ψ − E₀₁sin²ψ) ifadesine cos²ψ = (1 + cos 2ψ)/2 ve sin²ψ = (1 − cos 2ψ)/2 uygulanır. Simetrik kısım ikinci harmonik üretir; NXP notundaki “hata ψ ve ψ + π'de eşittir” gözlemiyle uyumludur [3]. Antisimetrik kısım sabit kaymadır: elipsoid uydurmasının göremediği düşey eksenli dönme. (14) ve (15) birlikte, pusula döndürme (compass swinging) yönteminin klasik sapma modelini verir [10]:

Eğim ve yatay eksenli dönme. Eğim hatası δθ veya yatay eksen etrafında kalan dönme için δψ_max ≈ tan I · δθ'dir [3]; küçük açı yaklaşımı manyetik kutuplara yaklaştıkça bozulur.

Gürültü. Yatay düzlemde alana dik gürültü bileşeni σ_⊥ ise σ_ψ ≈ σ_⊥/H; N bağımsız örneğin ortalaması bunu √N kadar düşürür [3].

Referans model. Coğrafi kuzey için gereken sapma açısının (declination) WMM2025 belirsizliği (1σ), H nT cinsinden √(0,26² + (5417/H)²) derecedir; H < 2000 nT bölgeleri “karartma”, 2000–6000 nT “dikkat” bölgesidir [11].

Tablo 2, Ankara için (39,93° K, 32,86° D, 2026-09-25; WMM2025: F = 48,19 μT, H = 25,40 μT, I = 58,19° [12]) örnek bütçedir; veri sayfası satırı dışındaki girdiler örnektir.

Tablo 2. Örnek pusula hata bütçesi, H = 25,40 μT, I = 58,19°

“İyi kalibrasyon” satırları (0,1 μT hard-iron, %1 kazanç farkı, 0,5° düşey ve 0,5° yatay dönme, 0,2° eğim, ortalanmış gürültü ve WMM) karelerin toplamının kökü (RSS) ile birleştirildiğinde yaklaşık 1,1° eder (türetilmiş). RSS bağımsızlık varsayar ve tepe genlikleriyle 1σ değerlerini karıştırır; yalnızca mertebe göstergesidir. Baskın kalemler hizalama ve kart üzeri akımlardır; ikisi de uydurma artığında görünmez. Aynı 0,5 μT artık, H = 10,8 μT olan 69,7° K enleminde (WMM2025 [12]) 2,65° hata verir.

Pratikteki sorunlar

Sıcaklık sürüklenmesi

Ørsted uydusunun fluxgate manyetometresinde duyarlılık ve ofsetler sıcaklıkla doğrusal değişmiş, diklik açıları sıcaklıktan bağımsız kalmıştır; uçuş kalibrasyonu sensör ve elektronik sıcaklıklarına ve yaşlanmaya bağlı doğrusal terimler içerir [13]. Tüketici sınıfı bir MEMS manyetometrenin veri sayfası, dengeleme sonrası duyarlılık sıcaklık katsayısını tipik ±0,01 %/K, en fazla ±0,03 %/K; üreticinin yazılımıyla kalibrasyon sonrası sıfır-alan ofsetini −40…+85 °C'de tipik ±2 μT verir [15]. Ortak kazanç değişimi yönü etkilemez, çünkü (15)'te yalnız farklar görünür; ofset değişimi ise doğrudan (14)'e girer. Tablo 2'deki 4,5° bu tipik kalıntının tamamıdır; sıcaklık payı veri sayfasında ayrılmaz. Çözüm, iklimlendirme kabininde karakterize edilen sıcaklığa bağlı ofset modeli, çalışırken yeniden kalibrasyon veya ikisidir.

Kart üzeri akımlar ve dinamik bozucular

Uzun ve düz bir iz için Ampère yasasından

elde edilir; 1 A akım 1 mm'de 200 μT, 1 cm'de 20 μT alan üretir [2]. Sabit akımlar hard-iron ofsetine katılır ve kalibre edilir; sorun yükle değişen akımlardır. İşlemci yükü, arka ışık veya RF güç yükseltecine bağlı akım taşıyan bir besleme izinin sensöre yakınlığı en zor durum olarak tanımlanır [2]. (17) ile 10 mm'de 50 mA'lik değişim 1,0 μT, H = 25,4 μT'de 2,3° eder (türetilmiş). Tüketici manyetometrelerinin çıktı hızı 100 Hz mertebesinde olduğundan çok daha hızlı akımlar görülmez, yavaş olanlar yön açısında modülasyon olarak görünür [2]. Sensörü çelik ekranla korumak hem güçlü soft-iron yaratır hem yer alanını perdeler; ekran gerekiyorsa düşük geçirgenlikli malzeme sensörden en az 7 mm uzakta tutulmalıdır [2].

Montaj sonrası değişen soft-iron ve hard-iron

Kalibrasyon yalnızca son mekanik ortamda geçerlidir. Renaudin ve arkadaşlarının deneyinde platforma bir vida bantlandığında birleşik ofset (−4,64; −0,24; 2,95) μT'den (4,29; 44,15; −27,86) μT'ye değişmiş, köşegen dışı elemanlar da farklılaşmıştır; en büyük yön farkı vidalı durumda kalibrasyonla 239°'den yaklaşık 5°'ye, diğer durumlarda 18°'den ±2°'ye inmiştir [7]. Ørsted'de uçuş öncesi ve uçuş içi ofset farkı, uçuş öncesi testlerin tam uçuş konfigürasyonunda (uçuş bataryası, çalışan güneş panelleri) yapılamamasına bağlanmıştır [13]. Menteşeli bir parçanın açık/kapalı olması gibi durumlar ayrı manyetik konfigürasyonlardır [2]; güçlü alana maruz kalan parçaların mıknatıslanması değişebilir ve histerezis doğrusal modeli bozar [1].

Üretimde tekrar edilebilirlik

İki strateji vardır: her ünite için tam kalibrasyon ya da tasarım başına ortak soft-iron matrisi ile ünite başına ofset. İkincisi, soft-iron'un üniteler arasında az değiştiğini varsayar; bu, bir üretim partisinde istatistiksel olarak doğrulanmalıdır. İstasyonun manyetik temizliği (fikstür malzemesi, motorlar, çelik tezgâh) kalibrasyonun parçasıdır; kapalı mekânda yerel alanın sabitliği ancak özenle sağlanabilir [9].

Doğrulama altyapısı ve metodoloji

Elipsoid artığı ortogonal belirsizliği ve kapsam dışı hatayı göremez; doğrulama bağımsız bir referans gerektirir.

• Helmholtz bobini: Yer alanını sıfırlayarak sıfır-alan ofsetini doğrudan ölçmeyi, bilinen vektörlerle ölçek ve eksenler arası kazancı belirlemeyi sağlar [7]. Bobin sabitleri referans fluxgate ile doğrulanmalı, akım ve bobin sıcaklığı izlenmelidir.
• Skaler referans: Merayo ve arkadaşları vektör manyetometrenin üç ofset, üç ölçek ve üç diklik parametresini yalnızca skaler bir referansla, yer alanında kestirmiş ve 0,5 nT mutlak hassasiyet bildirmiştir [14]. Ørsted'de skaler Overhauser manyetometresi ile kalibre edilen vektör manyetometre arasındaki uyum 0,33 nT rms'dir; dönme yıldız izleyici ve alan modeliyle ayrıca, 4 yay-saniyeden iyi doğrulukla belirlenmiştir [13].
• Manyetik olmayan döner tabla: Alüminyum, pirinç, plastik ve camdan, piezo motorlu üç eksenli platformlar kullanılmıştır [7]. Bağıl geçirgenlik: çelik ≈ 100, alüminyum ve pirinç ≈ 1 [2].
• Referans yön: GNSS/INS çözümü [7], navigasyon sınıfı INS [10] veya dik açılı hassas blokla 90°'lik adımlar [9]. Blok yöntemi ardışık yönelimler arasındaki farkı doğrular; sabit kaymayı (16'daki A) göremez, harmonik hataları yakalar.
• İklimlendirme kabini: Fanlar, ısıtıcı akımları ve metal yapı test hacminde alanı bozabilir; alan referansla haritalanmalı, sıcaklık dengesi beklenmelidir.

Metrikler: bağımsız referansa göre yön hatası eğrisinin (16)'daki harmoniklere ayrıştırılması; kapsam dışı eğimlerde test; ayrı doğrulama verisinde artık dağılımı. Kok ve Schön normalize EKF artıklarının kestirim ve doğrulama setlerinde N(0, 1)'e benzemesini ölçüt olarak kullanır [9]. Gebre-Egziabher ve arkadaşlarının simülasyonlarında kestirici kovaryansı gerçek hataları üstten sınırlamış, temkinli bir kalite ölçütü olmuştur [10].

Yaygın hatalar

• Yalnız min/maks ile ofset ve ölçek: Eksen başına en büyük ve en küçük değerin ortası ofset kabul edilir. Yöntem eksenler arası bağlaşımı yok sayar [7] ve uç değerlere, yani en gürültülü örneklere dayanır. Tablo 1 düzeneğinin tam küre verisine eksen başına min/maks (ofset ve köşegen ölçek) uygulandığında merkez yaklaşık 0,5 μT içinde bulunmuş, ancak modellenmeyen köşegen dışı soft-iron nedeniyle en büyük yön hatası 5,7° kalmıştır; 10 parametreli uydurma aynı veride 0,2° vermiştir (100 denemenin medyanı, türetilmiş).
• Küresellik varsayımı: 4 parametreli model zayıf soft-iron için yeterlidir [1]; güçlü soft-iron altında ofseti doğru bulup yine de ikinci harmonik hata bırakır. Aynı simülasyonda 4 parametreli model merkezi 0,3 μT içinde bulmuş, yön hatası ise 7,3° olmuştur.
• Uydurma kalitesini tek metrikle değerlendirmek: Artık RMS'i ya da normalize uydurma hatası [1] ortogonal belirsizliği görmez; dar kapsamda veri bölgesi dışında büyük hata veren bir çözümü iyi gösterir (Tablo 1, ±20°).
• Simetrik düzeltmeyi fiziksel gerçek saymak: (12) uyarınca hizasızlık kalır; hizalama yapılmadıkça 1°'lik yatay dönme orta enlemde yaklaşık 1,6° hatadır.
• Laboratuvarda kalibre edip sahada kullanmak: Montaj farklıysa parametreler de farklıdır [7], [13].
• Doygunluğu atlamak: Ofsetler dahil ölçüm aralığı aşılırsa doğrusal model geçersizleşir [15].

Kaynaklar

1. T. Ozyagcilar, “Calibrating an eCompass in the Presence of Hard- and Soft-Iron Interference,” Freescale/NXP Application Note AN4246, Rev. 4.0, 2015. https://www.nxp.com/docs/en/application-note/AN4246.pdf
2. T. Ozyagcilar, “Layout Recommendations for PCBs Using a Magnetometer Sensor,” Freescale/NXP Application Note AN4247, Rev. 4.0, 2015. https://www.nxp.com/docs/en/application-note/AN4247.pdf
3. T. Ozyagcilar, “Accuracy of Angle Estimation in eCompass and 3D Pointer Applications,” Freescale/NXP Application Note AN4249, Rev. 1.0, 2015. https://www.nxp.com/docs/en/application-note/AN4249.pdf
4. Q. Li, J. G. Griffiths, “Least squares ellipsoid specific fitting,” Geometric Modeling and Processing 2004, Proceedings, IEEE, s. 335–340, 2004. https://doi.org/10.1109/GMAP.2004.1290055
5. M. Zhao, X. Jia, L. Ma, Y. Shi, J. Jiang, Q. Li, D.-M. Yan, T. Huang, “A Bayesian Approach Toward Robust Multidimensional Ellipsoid-Specific Fitting,” arXiv:2407.19269, 2024. https://arxiv.org/abs/2407.19269
6. K. Usevich, I. Markovsky, “Adjusted least squares fitting of algebraic hypersurfaces,” arXiv:1412.2291, 2015. https://arxiv.org/abs/1412.2291
7. V. Renaudin, M. H. Afzal, G. Lachapelle, “Complete Triaxis Magnetometer Calibration in the Magnetic Domain,” Journal of Sensors, cilt 2010, makale 967245, 2010. https://doi.org/10.1155/2010/967245
8. J. F. Vasconcelos, G. Elkaim, C. Silvestre, P. Oliveira, B. Cardeira, “Geometric Approach to Strapdown Magnetometer Calibration in Sensor Frame,” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, cilt 47, sayı 2, s. 1293–1306, 2011. https://doi.org/10.1109/TAES.2011.5751259
9. M. Kok, T. B. Schön, “Magnetometer Calibration Using Inertial Sensors,” IEEE Sensors Journal, cilt 16, sayı 14, s. 5679–5689, 2016. https://doi.org/10.1109/JSEN.2016.2569160
10. D. Gebre-Egziabher, G. H. Elkaim, J. D. Powell, B. W. Parkinson, “Calibration of Strapdown Magnetometers in Magnetic Field Domain,” Journal of Aerospace Engineering, cilt 19, sayı 2, s. 87–102, 2006. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0893-1321(2006)19:2(87)
11. NOAA NCEI, “World Magnetic Model: Accuracy, Limitations, and Error Model (WMM2025),” erişim 2026-09-25. https://www.ncei.noaa.gov/products/world-magnetic-model/accuracy-limitations-error-model
12. A. Chulliat vd., “The US/UK World Magnetic Model for 2025–2030: Technical Report,” NOAA National Centers for Environmental Information, 2025. https://doi.org/10.25923/prbc-s316
13. N. Olsen, L. Tøffner-Clausen, T. J. Sabaka, P. Brauer, J. M. G. Merayo, J. L. Jørgensen, J.-M. Léger, O. V. Nielsen, F. Primdahl, T. Risbo, “Calibration of the Ørsted vector magnetometer,” Earth, Planets and Space, cilt 55, sayı 1, s. 11–18, 2003. https://doi.org/10.1186/BF03352458
14. J. M. G. Merayo, P. Brauer, F. Primdahl, J. R. Petersen, O. V. Nielsen, “Scalar calibration of vector magnetometers,” Measurement Science and Technology, cilt 11, sayı 2, s. 120–132, 2000. https://doi.org/10.1088/0957-0233/11/2/304
15. Bosch Sensortec, “BMM150 Geomagnetic Sensor — Data sheet,” BST-BMM150-DS001-05, Rev. 1.4, 2020. https://www.bosch-sensortec.com/media/boschsensortec/downloads/datasheets/bst-bmm150-ds001.pdf