Jiroskopsuz AHRS: ivmeölçer–manyetometre füzyonunun teorik sınırları ve gözlemlenebilirlik analizi

Jiroskopsuz bir tutum ve yön referans sistemi (attitude and heading reference system, AHRS), tutumu yalnızca iki fiziksel vektörden, yerçekimi ve yerel manyetik alandan çıkarır. Bu not, Wahba problemi çözücülerinin verdiği kovaryansın iki vektör arasındaki açıya bağlılığını türetir, dinamik durumda doğrusal ivmenin yerçekiminden neden ayrılamadığını gözlemlenebilirlik analiziyle gösterir ve sonuçları bir hata bütçesinde toplar. Son bölüm, statik doğruluğu dinamik performans sanma gibi yaygın hatalardan kaçınan bir doğrulama yöntemini özetler.

Ölçüm modelleri

Referans çerçevesi yerel Kuzey–Doğu–Aşağı (NED) çerçevesidir. Tutum matrisi A ∈ SO(3), referanstaki bir vektörü gövde çerçevesine taşır. İvmeölçer ivmeyi değil özgül kuvveti (specific force) ölçer:

Burada a_n kinematik ivme, β_a yanlılık (bias), ν_a gürültüdür; durağan gövdede ivmeölçer 1 g büyüklüğünde, yukarı yönlü bir vektör okur. Manyetometre yerel alanı sensöre bağlı bozucularla birlikte ölçer:

F toplam şiddet, I manyetik eğim (inclination; yataydan alan vektörüne, aşağı pozitif), D sapmadır (declination). Yeryüzünde F yaklaşık 23 000–67 000 nT aralığındadır [15]. Yalnızca yönler bilgi taşıdığından birim vektörler kullanılır: gövdede b₁ = −f_b/‖f_b‖ ve b₂ = m_b/‖m_b‖; referansta r₁ = [0 0 1]^T ve r₂ = m_n/F. İdealde Ar_i = b_i.

r₁·r₂ = sin I olduğundan iki vektör arasındaki açı θ = 90° − |I| ve sin θ = cos I'dır. I 90°'ye yaklaştıkça vektörler eş doğrusal hâle gelir. Tek bir birim vektör yalnızca iki bağımsız skaler bilgi taşır: A, Ar₁ = b₁'i sağlıyorsa b₁ etrafında keyfî bir dönmeyle çarpılmış her matris de sağlar [3]. Yalnız yerçekiminde bu serbest dönme düşey eksen etrafındadır; sapma açısı (yaw, heading) ivmeölçerden hiçbir koşulda gözlenemez.

Statik çözüm: Wahba, TRIAD, q-yöntemi ve QUEST

Wahba 1965'te ölçülen ve referans birim vektörler arasındaki ağırlıklı kare hatayı en küçükleyen, determinantı +1 olan dik matrisi aramayı önerdi [1]. Ağırlıklar ters varyans seçilirse problem en büyük olabilirlik kestirimine bağlanır [4]:

İkinci eşitlik, birim vektörlerde karenin açılıp izin döngüsel özelliğinin kullanılmasıyla elde edilir. Kaybı en küçüklemek izi en büyüklemektir. B = UΣV^T tekil değer ayrışımıyla (SVD) A_opt = U diag[1, 1, det U det V] V^T bulunur. Davenport'un q-yöntemi aynı çözümü 4×4 K matrisinin en büyük özdeğerine ait özvektör olarak verir; QUEST bu özdeğeri karakteristik denklemi Newton–Raphson ile çözerek bulur [2][4]. İki gözlemde karakteristik denklem ikinci dereceye iner [4]:

Bu pratikte önemlidir: Markley ve Mortari, doğrulukları çok farklı ölçümlerde QUEST ve ESOQ'nun λ_max yinelemesinin bozulabildiğini ve 1 yay saniyesi ile 1° doğruluklu üç gözlemli bir senaryoda yuvarlanma hatasının 180°'ye ulaşabildiğini raporlar [4]. İvmeölçer ve manyetometre yön gürültüleri de genellikle farklı mertebededir; (4) yinelemeyi ortadan kaldırır.

TRIAD ve yerçekimi çapası

TRIAD, iki vektörden birer dik üçlü kurup bunları eşler. Birinci vektörü çapa (anchor) alan biçim [3]:

r₃ referans vektörlerden aynı biçimde kurulur. A_T1r₁ = b₁ tam sağlanır; ikinci ölçüm hatanın tamamını taşır. Vektörler paralelse b₃ tanımsızdır. Markley, iki gözlemli Wahba çözümünün a₂ → 0 limitinde A_T1'e, eşit ağırlıkta simetrik TRIAD'a indiğini gösterir [3].

Yerçekimini çapa almak, manyetometrenin yalnızca sapmayı etkilemesi demektir. Eğim dengelemeli e-pusula (tilt-compensated eCompass) bunu yapar: yuvarlanma ve yunuslama ivmeölçerden hesaplanır, manyetik okuma yataya döndürülür, sapma yatay bileşenlerden bulunur [5]. Valenti ve arkadaşları tutumu q = q_acc ⊗ q_mag olarak kurar; manyetik kısım yalnızca düşey eksen etrafında döndürdüğünden manyetik bozucu yalnızca sapmayı etkiler [6]. Madgwick de referans alanı ölçülen alanın eğimiyle [b_x 0 b_z] olarak yeniden hesaplar; böylece bozucunun düşey düzlemdeki (eğim) bileşeni dengelenir, yatay düzlemdeki bileşeni sapmada kalır [7].

Bedeli bir sonraki bölümdeki (7)–(8) ile sayılabilir. İki vektörlü statik modelde manyetometrenin eğime kattığı bilgi yalnızca iki vektörün düzlemine dik (doğu) eksendedir ve I'dan bağımsızdır; kuzey ekseninde P_xx = σ₁² kalır, çünkü manyetik ölçüm o düzlemde tamamen sapmayı belirlemeye harcanır. Çapalı çözümün sapma varyansı da (8)'deki P_zz ile aynıdır (türetilmiş). Madgwick, testlerin yapıldığı yerde eğimin 65–70° olduğunu ve alanın büyük bileşeninin yuvarlanma ve yunuslama için ek referans olmasının beklendiğini yazar [7]; statik modelde bu kazanç doğu ekseniyle sınırlıdır ve Tablo 1 değerleriyle eğim belirsizliğini 0,10°'den 0,096°'ye indirir. Çapalı çözüm bu küçük kazancı bırakır, karşılığında eğimi manyetik bozucudan korur. Markley'nin Güneş sensörü–manyetometre senaryosunda simetrik kestiriciler, manyetometre hatasını doğru sensörün belirlediği eksenlere taşıdığı için asimetriklerden kötü sonuç verir [3].

Tutum kovaryansı ve açı bağımlılığı

Shuster, QUEST ile birlikte gövde çerçevesindeki hata açısı vektörünün kovaryansını vermiştir [2]; Markley ve Mortari'nin yazımıyla [4]:

Kovaryans gövde çerçevesinde tanımlı ve tutumdan bağımsız olduğundan, gövdenin anlık olarak NED ile çakıştığı durum alınabilir: b₁ = e_z, b₂ = cos I e_x + sin I e_z. σ₁, σ₂ yerçekimi ve manyetik yön ölçümlerinin eksen başına açısal gürültüsüdür (rad).

Adım 1. I₃ − b₁b₁^T = diag(1, 1, 0). I₃ − b₂b₂^T'nin sıfırdan farklı elemanları: (1,1) = sin²I, (2,2) = 1, (3,3) = cos²I, (1,3) = (3,1) = −sin I cos I.

Adım 2. Doğu ekseni ayrışır: σ_y² = σ₁²σ₂²/(σ₁² + σ₂²). Bu eksen iki vektörün düzlemine diktir ve her iki ölçümce görülür.

Adım 3. Kuzey–aşağı bloğu ve determinantı (σ₂⁻⁴ terimleri birbirini götürür):

Adım 4. Tersi alınınca:

P_zz sapma varyansıdır. σ₂/cos I manyetik yön gürültüsünün yatay alan payına (H/F = cos I) bölümü, σ₁ tan I ise P_xz ilintisi yoluyla eğim hatasının sapmaya sızan kısmıdır. Bu, e-pusula için ayrı yoldan türetilmiş iki kuralla örtüşür: artık manyetik ofsetin yatay alana oranı ve eğim hatasının tan I katı [5]. Wahba kovaryansı ikisini tek ifadede birleştirir. 2×2 bloğun izi (σ₁² + σ₂²)/cos²I olduğundan, büyük I'da en kötü eksen için σ_max ≈ √(σ₁² + σ₂²)/sin θ bulunur. Eşit ağırlıkta bilgi matrisinin özdeğerleri 2 ve 1 ± sin I'dır; koşul sayısı κ = 2/(1 − sin I) olur (türetilmiş).

Sayısal mertebe

NXP AN4249'a göre MMA8451 ivmeölçerin 126 μg/√Hz gürültü yoğunluğu 400 Hz çıkış hızında 1,78 mg RMS'ye karşılık gelir; MAG3110 manyetometre 10 Hz'de eksen başına 0,25 μT RMS gürültü verir [5]. Buradan σ₁ ≈ 1,78 mrad = 0,10° ve F = 50 μT varsayımıyla σ₂ ≈ 5 mrad = 0,29° elde edilir. Tablo 1 tek örnek değerleridir; ortalama beyaz gürültüyü azaltır, yanlılığı azaltmaz.

Tablo 1. Sapma belirsizliğinin manyetik eğime bağlılığı (σ₁ = 0,10°, σ₂ = 0,29°, F = 50 μT sabit; türetilmiş)

Eğim belirsizliği (σ_x ≈ σ_y ≈ 0,10°) bu aralıkta değişmez; kötüleşme neredeyse tamamen sapmadadır. WMM, yatay şiddetin 2000 nT'nin altındaki bölgeleri karartma bölgesi (blackout zone), 6000 nT'nin altındaki çevreyi uyarı bölgesi (caution zone) olarak tanımlar; karartma bölgesinde pusulaya güvenilemeyeceğini, uyarı bölgesinde doğruluğun giderek bozulduğunu belirtir [15].

Gözlemlenebilirlik analizi

Statik durum: Jakobiyen rankı

Gövde çerçevesinde küçük hata açısı δθ için A = (I₃ − [δθ×])Â yazılırsa b_i ≈ b̂_i + b̂_i × δθ, yani Jakobiyen H_i = [b_i×] olur. [b×]^T[b×] = I₃ − bb^T olduğundan ağırlıklı H^TWH tam olarak (6)'nın tersidir; QUEST kovaryansı Fisher bilgisinin tersidir.

Yalnız yerçekiminde rank 2'dir ve boş uzay b₁ doğrultusundadır. İki vektörde rank üçtür, ancak en küçük tekil değer (1 − sin I)^1/2 ile küçülür; mühendislik açısından belirleyici olan ikili rank değil, bu değerdir.

Dinamik durum: Lie türevleri ve ayırt edilemez yörüngeler

Doğrusal olmayan sistemlerde yerel zayıf gözlemlenebilirlik, çıktı ile ardışık Lie türevlerinin Jakobiyeninden kurulan gözlemlenebilirlik matrisinin rankıyla sınanır [8]. Wang, Gamagedara ve Lee bu yaklaşımla, gövde çerçevesinde ölçülen açısal hız ve eylemsiz çerçevede sabit tek bir referans vektörle tutumun tam gözlenemediğini gösterir [9]. Jiroskopsuz sistemde açısal hız bir durumdur. Ȧ = −[ω×]A olduğundan sabit referans için ḃ_i = −ω × b_i.

Durum 1: ivmesiz model. Durum (A, ω), çıktı h = (b₁, b₂), birinci Lie türevi L_fh = (−ω×b₁, −ω×b₂). [h; L_fh] Jakobiyeni blok alt üçgendir ve iki köşegen bloğu da (9)'daki H'dir; b₁ ∦ b₂ ise rank 6'dır. Açısal hız böylece vektörlerin türevinden gelir. Sonlu farkın gürültü bedeli, T örnek aralığı ve σ_d yön gürültüsüyle:

σ_d = 0,2° ve T = 10 ms için 28°/s (türetilmiş); açısal hız ancak ağır filtreyle, gecikme pahasına kullanılabilir. Magnis ve Petit türevsiz bir gözlemci önerir, ancak eylemsizlik matrisinin ve dış torkun bilindiğini ve iki referans vektörün sabit ve doğrusal bağımsız olduğunu varsayar [10]. Bu, uzay aracında makuldür; dış kuvvet ve torku bilinmeyen araçlarda genellikle sağlanmaz.

Durum 2: ivme bilinmiyor. Q, referans çerçevesinde m_n ekseni etrafında sabit bir φ dönmesi olsun:

Q^Tm_n = m_n olduğundan A′m_n = Am_n; ayrıca A′(a′_n − g_n) = A(a_n − g_n) ve Q sabit olduğundan açısal hız da aynıdır. İki yörüngenin bütün çıktıları her an özdeştir; hiçbir mertebeden Lie türevi bu yönü ayıramaz. Gözlenemeyen doğrultu, yerel manyetik alan ekseni etrafındaki dönmedir. Duran gövdede gereken “sahte” ivme ‖(Q − I)g_n‖ = 2g sin(φ/2) cos I ≈ gφ cos I'dır: I = 60°'de 1°'lik tutum hatası yalnızca 0,086 m/s²'lik açıklanmamış ivmeyle karşılanır (türetilmiş). İvme sıfır ortalamalı bir Gauss–Markov süreciyle kısıtlanırsa gözlemlenebilirlik yalnızca istatistiksel olarak geri gelir ve doğruluğu ivme modeli belirler. Hız ya da konum ölçümü (ör. GNSS) a_n'yi dışarıdan gözlenebilir kılar.

Özgül kuvvet belirsizliğinin tutum hatasına etkisi

Yerçekimi çapalı çözümde tahmini aşağı yönü −f/‖f‖'dır. a_n = [a_h 0 a_v]^T için (1)'den −f_n ∝ [−a_h 0 g − a_v]^T, dolayısıyla:

a_h = 0,5, 1 ve 2 m/s² için eğim hatası 2,9°, 5,8° ve 11,5°'dir (türetilmiş); serbest düşmede yön tanımsızdır. Bu hata sapmaya da geçer. AN4249, yuvarlanma ve yunuslama hataları Δφ, Δθ için sapma hatasının sinüsoidal değiştiğini ve genliğinin

olduğunu türetir; yaklaşım manyetik kutuplar yakınında bozulur [5]. I = 60°'de 1 m/s²'lik yatay ivme 5,8° eğim ve 10°'ye kadar sapma hatası üretir (türetilmiş). Koordineli dönüşte merkezcil ivme vω'dır: 20 m/s ve 0,1 rad/s için 2 m/s² ve 11,5°'lik eğim hatası dönüş boyunca sürer. Koordineli dönen bir hava aracında özgül kuvvet gövde düşeyine hizalanır; ivmeölçer, yatış açısı ne olursa olsun gövdeyi yatay görür. Bu hata ortalamayla giderilemez.

Sık önerilen büyüklük sınaması da zayıftır. Valenti ve arkadaşları e_m = |‖f‖ − g|/g hatasına göre filtre kazancını azaltır [6]. Yatay ivmede ‖f‖ = √(g² + a_h²) olduğundan

bulunur: 5,8°'lik eğim hatasında e_m yalnızca %0,5'tir (türetilmiş), yani ölçek çarpanı hatası ve gürültü düzeyinde. Sınama darbeleri yakalar, birkaç derecelik sürekli hatayı kaçırır.

Jiroskopsuz dinamik kestirim

Hareket modelli tamamlayıcı filtre ve EKF

Mahony, Hamel ve Pflimlin'in SO(3) üzerindeki tamamlayıcı filtreleri ve Madgwick'in gradyan inişli filtresi, yüksek frekansı jiroskoptan, düşük frekanslı düzeltmeyi vektör ölçümlerinden alır [11][7]. Jiroskop yoksa tahmin adımı yalnızca bir süreç modelidir ve filtre fiilen Wahba çözümünün alçak geçiren sürümüne dönüşür. Birinci dereceden filtre, τ zaman sabiti ve T ≪ τ için:

T = 10 ms ve τ = 0,5 s ile gürültü 10 kat azalır, ama 30°/s'lik sabit dönüşte 15° gecikme hatası oluşur. Süresi Δt olan bir ivme darbesi yaklaşık (1 − e^−Δt/τ) oranında geçer: 0,2 s süren 2 m/s²'lik darbe 11,5° yerine yaklaşık 3,8° bırakır (türetilmiş). Filtre ivme bozucusunu gerçek hareketten frekansla ayırmaya çalışır; spektrumlar örtüştüğünde ayrım yapılamaz. EKF ya da çarpımsal EKF (MEKF) bu tabloyu değiştirmez; açısal hız için rastgele yürüyüş, ivme için Gauss–Markov modelinin süreç gürültüleri (15)'teki τ'nun karşılığıdır. e_m'ye bağlı uyarlamalı kazanç darbelerde yardımcı olur; (14) nedeniyle sürekli merkezcil ivmede yetersiz kalır.

Çoklu ivmeölçerli jiroskopsuz IMU

Açısal hareket, ivmeölçer dizisinin uzaysal farklarından da çıkarılabilir. Konumu ρ_i, ekseni u_i olan ivmeölçer:

Chen, Lee ve DeBra altı tek eksenli ivmeölçeri küp yüzeylerine, yüz köşegenleri boyunca yerleştirir; açısal ivme okumaların doğrusal birleşimidir, doğrusal ivme ise açısal hıza bağlı düzeltme terimleri de gerektirir; açısal hız sayısal integrasyonla bulunur [12][13]. Daha çok ivmeölçerli düzenler ω'ya karesel bağlı terimleri de kullanır; bunlar yalnızca |ω|'yı verir, işaret integrasyondan alınır ve gürültü altında yanlış işaret kararı oluşabilir [14].

Taban uzunluğu L olan bir çiftin farkındaki δb yanlılığı δα ≈ δb/L verir; açısal hız hatası δα·t, açı hatası ½δα·t² olur. δb = 1 mg ve L = 5 cm için 1 s sonunda 11°/s ve 5,6°; 10 s sonunda çözüm dağılmıştır (türetilmiş). Sanjuan ve arkadaşları, düzeltme yapılmazsa konum belirsizliğinin ivmeölçer türüne göre t⁴ ile t⁵ biçiminde büyüdüğünü gösterir [13]. Dizi, Wahba çözümüyle tamamlayıcı biçimde birleştirilebilir; ancak ortak modu da özgül kuvvet olduğundan (11)'deki ayırt edilemezliği gidermez.

Hata kaynakları ve hata bütçesi

İvmeölçer yanlılığı. Eğim hatası ≈ yanlılık/g radyandır [5]; 1 mg ≈ 0,057°. AN4249, MMA8451'in sıfır-g ofsetinin montaj öncesi ±20 mg, lehimleme gerilimiyle montaj sonrası ±30 mg olabildiğini ve −40…85 °C'de tipik ±0,15 mg/°C sıcaklık katsayısını aktarır [5]. Kalibrasyonsuz 30 mg 1,7°, 60 °C aralıkta 9 mg sürüklenme 0,5° eğim hatasıdır (türetilmiş).

Manyetik bozucular. Artık sert demir (hard-iron) hatası her turda bir çevrimli, genliği artık ofset/yatay alan olan bir sapma hatası üretir; yumuşak demir (soft-iron) artığı iki çevrimli hata üretir. AN4249'un aktardığı örnekte 10 μT'lik yatay alanda 3°'lik doğruluk için alan hatası 0,5 μT'nin altında kalmalıdır [5]. Madgwick'e göre yatay düzlemdeki bozucular ek bir yön referansı olmadan düzeltilemez [7].

Referans alan ve eşzamanlılık. r₂ da bir kestirimdir: WMM2025'in 2025.0'daki küresel RMS hatası eğimde 0,18°, sapmada 0,36°'dir ve baskın bileşen kabuk alanı ihmal hatasıdır [15]. Sensörler arası δt gecikmesi dönüşte ωδt kadar uyumsuzluk üretir; Madgwick, manyetometrenin 10 Hz, ivmeölçerin 30 Hz bant genişliğinin dinamik koşullarda sapma hatasını artırabileceğini not eder [7].

Tablo 2. Örnek hata bütçesi: yerçekimi çapalı çözüm, I = 60°, F = 50 μT (H = 25 μT). V: varsayım, T: türetilmiş.

Statik sapma bütçesine artık sert demir hâkimdir; onu ivmeölçer sıcaklık sürüklenmesi ve manyetometre gürültüsü izler. İvmeölçer kaynaklı terimler tan I ile büyüyerek sapmaya taşınır. Dinamik terim statik toplamdan bir mertebeden büyüktür; statik kalibrasyonu iyileştirmek dinamik doğruluğu değiştirmez. RSS bağımsızlık varsayar; yanlılıklar sistematiktir ve en kötü durumda doğrusal toplanır.

Doğrulama metodolojisi

Hassas konumlama ve döner tabla. Çok konumlu statik test ve bilinen hızda dönüş için kullanılır. Kritik sorun manyetik temizliktir: motorlar, çelik yataklar ve tabla gövdesi alanı bozar. Test hacminde bir referans manyetometreyle alan haritası çıkarılmalıdır. Madgwick'in ölçüm platformu, manyetometreyi etkilememek için alüminyum göbek ve karbon fiber çubuklarla kurulmuştur [7]. Offset yarıçaplı dönüş bilinen bir merkezcil ivme a_c = ω²r üretir: r = 0,5 m ve ω = 2 rad/s ile 2 m/s² ve (12)'ye göre beklenen 11,5°'lik eğim hatası doğrudan sınanır (türetilmiş).

Optik hareket yakalama. Merriaux ve arkadaşları sekiz kameralı bir Vicon düzeninde statik ortalama mutlak hatayı 0,15 mm, dinamik hatayı 2 mm'nin altında ölçmüş; işaretçi boyutu ve örnekleme hızı uygun seçildiğinde dinamik başarımın 0,3 mm'ye indiğini göstermiştir [16]. L tabanlı iki işaretçiden açı için σ_açı ≈ √2 σ_p/L: L = 0,5 m'de 0,3 mm için 0,05°, 2 mm için 0,32° (türetilmiş; kaynakta bu iki değer 3σ sınırı olduğundan σ_p yerine konmaları tutucudur). İkinci değer statik bütçeyle aynı mertebededir; referans belirsizliği bütçeye yazılmalıdır. Optik ve sensör çerçeveleri arasındaki sabit dönme ayrıca kalibre edilmelidir; Madgwick bunun için bir yöntem sunar [7]. 100°/s'lik harekette 10 ms'lik zaman eşleme hatası 1° demektir (türetilmiş).

Yüksek sınıf INS. Araç üstü testlerde referans olabilir; ancak sapmayı manyetik olmayan bir yöntemle (jiroskopik pusulalama ya da GNSS destekli hizalama) bulmalıdır. Aksi hâlde aynı manyetik ortam iki sisteme ortak hata olarak girer ve fark sıfır görünür.

Sıcaklık ve titreşim. İklimlendirme kabininde yanlılık ve ölçek çarpanı, her noktada ısıl denge beklenerek sıcaklığın fonksiyonu olarak çıkarılır. Titreşimde iki etki ayrı sınanır: örtüşme önleyici filtre yetersizse Nyquist üstündeki titreşimin banda katlanması ve sıfır ortalamalı titreşimin ortalama çıktıyı kaydırması. İkisi de sarsıcıda, sensör statik bir eğimdeyken titreşim açılıp kapatılarak görülür.

Hata imzaları. Sabit eğimde 360° sapma taramasında bir çevrimli hata sert demirden ya da eğim hatasından, iki çevrimli hata yumuşak demirden gelir; AN4249 ilk ikisinin karışabileceğini belirtir [5]. Ayırmak için tarama, Helmholtz bobiniyle yatay şiddet H sabit tutulup manyetik eğim değiştirilerek tekrarlanır: sert demir kaynaklı genlik (artık ofset/H) değişmez, eğim hatası kaynaklı genlik (13) gereği tan I ile ölçeklenir. Bilinen konumda bir ferromanyetik kütle ya da bobinle bozucu enjeksiyonu, bozucunun eğime sızıp sızmadığını gösterir.

Yaygın hatalar

• Statik doğruluğu dinamik performans sanmak. Madgwick'in raporladığı 0,6°'nin altındaki statik ve 0,8°'nin altındaki dinamik RMS hatalar jiroskoplu sistemde elde edilmiştir [7]. Jiroskopsuz sistemde dinamik hata (12) ile harekete bağlıdır; hareket profili tanımlanmadan verilen tek bir “dinamik doğruluk” sayısı anlamsızdır.
• ‖f‖ ≈ g sınamasını yeterli saymak; (14) bunun ikinci mertebeden olduğunu gösterir.
• Simetrik ağırlık ile çapa arasındaki seçimi bilinçsiz yapmak. Doğruluklardan bağımsız eşit ağırlık manyetik hatayı eğime taşır [3]; çapanın statik bedeli ise yalnızca doğu eksenindeki küçük eğim kazancıdır (bkz. (7)–(8)). Asıl ölçüt manyetik bozucuya dayanıklılıktır.
• Çoklu ivmeölçerli IMU'yu çözüm saymak. (11)'deki ayırt edilemezlik kalır, açı hatası t² ile büyür.

Sonuç

Statik durumda sapma belirsizliği √(σ₂² + σ₁² sin²I)/cos I'dır ve yüksek eğimde hızla büyür. İvme bilinmediğinde manyetik alan ekseni etrafındaki dönme ilke olarak gözlenemez; yerçekimi çapalı çözümde bunun karşılığı atan(a_h/g) eğim hatası ve tan I ile ona bağlı sapma hatasıdır. Jiroskopsuz filtreleme bu hatayı yalnızca gecikme pahasına bastırır. Performans, statik ve tanımlı dinamik profiller için ayrı raporlanmalıdır.

Kaynaklar

1. G. Wahba, “A least squares estimate of satellite attitude,” SIAM Review, cilt 7, sayı 3, s. 409, 1965. https://doi.org/10.1137/1007077
2. M. D. Shuster, S. D. Oh, “Three-axis attitude determination from vector observations,” Journal of Guidance and Control, cilt 4, sayı 1, s. 70–77, 1981. https://doi.org/10.2514/3.19717
3. F. L. Markley, “Attitude determination using two vector measurements,” Proc. Flight Mechanics Symposium, NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, MD, Mayıs 1999, NASA/CP-1999-209235, s. 39–52. https://ntrs.nasa.gov/citations/19990052720
4. F. L. Markley, D. Mortari, “How to estimate attitude from vector observations,” AAS 99-427, AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Girdwood, Alaska, Ağustos 1999; Advances in the Astronautical Sciences, cilt 103, kısım III, s. 1979–1996, 2000. https://malcolmdshuster.com/FC_MarkleyMortari_Girdwood_1999_AAS.pdf
5. T. Ozyagcilar, “Accuracy of angle estimation in eCompass and 3D pointer applications,” NXP (Freescale) AN4249, Rev. 1.0, 2015. https://www.nxp.com/docs/en/application-note/AN4249.pdf
6. R. G. Valenti, I. Dryanovski, J. Xiao, “Keeping a good attitude: a quaternion-based orientation filter for IMUs and MARGs,” Sensors, cilt 15, sayı 8, s. 19302–19330, 2015. https://doi.org/10.3390/s150819302
7. S. O. H. Madgwick, “An efficient orientation filter for inertial and inertial/magnetic sensor arrays,” teknik rapor, 2010. https://x-io.co.uk/downloads/madgwick_internal_report.pdf
8. R. Hermann, A. J. Krener, “Nonlinear controllability and observability,” IEEE Trans. Automatic Control, cilt 22, sayı 5, s. 728–740, 1977. https://doi.org/10.1109/TAC.1977.1101601
9. W. Wang, K. Gamagedara, T. Lee, “On the observability of attitude with single direction measurements,” arXiv:2008.13067, 2021. https://arxiv.org/abs/2008.13067
10. L. Magnis, N. Petit, “Angular velocity nonlinear observer from vector measurements,” Automatica, cilt 75, s. 46–53, 2017. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2016.09.027
11. R. Mahony, T. Hamel, J.-M. Pflimlin, “Nonlinear complementary filters on the special orthogonal group,” IEEE Trans. Automatic Control, cilt 53, sayı 5, s. 1203–1218, 2008. https://doi.org/10.1109/TAC.2008.923738
12. J.-H. Chen, S.-C. Lee, D. B. DeBra, “Gyroscope free strapdown inertial measurement unit by six linear accelerometers,” J. Guidance, Control, and Dynamics, cilt 17, sayı 2, s. 286–290, 1994. https://doi.org/10.2514/3.21195
13. J. Sanjuan, A. Sinyukov, M. F. Warrayat, F. Guzman, “Gyro-free inertial navigation systems based on linear opto-mechanical accelerometers,” Sensors, cilt 23, sayı 8, 4093, 2023. https://doi.org/10.3390/s23084093
14. X. Jiang, T. Liu, J. Duan, M. Hou, “Attitude algorithm of gyroscope-free strapdown inertial navigation system using Kalman filter,” Micromachines, cilt 15, sayı 3, 346, 2024. https://doi.org/10.3390/mi15030346
15. A. Chulliat ve diğ., “The US/UK World Magnetic Model for 2025–2030: Technical Report,” NOAA NCEI, 2025. https://doi.org/10.25923/prbc-s316
16. P. Merriaux, Y. Dupuis, R. Boutteau, P. Vasseur, X. Savatier, “A study of Vicon system positioning performance,” Sensors, cilt 17, sayı 7, 1591, 2017. https://doi.org/10.3390/s17071591